TEMA: PROBABILIDAD (Nociones Generales - Ley de Laplace) - JC CUBA 2014

PROBABILIDAD 

Las probabilidades constituyen una rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.
Así mismo, la probabilidad es una medición numérica que va de 0 a 1 de la posibilidad de que un evento ocurra. Si da cerca de 0 es improbable que ocurra el evento y si da cerca de 1 es casi seguro que ocurra.

* Se denota: "P(A)"  (Nº de resultados en que ocurra "A")

I. Experimento aleatorio (E):

Es todo proceso que se puede repetir indefinidamente con resultados imprevisibles.

Así, son experimentos aleatorios:

* El lanzamiento de una moneda

* El lanzamiento de un dado

* La extracción de una bola de bingo

II. Espacio muestral (Ω):

Dado un experimento aleatorio “E”, se llama espacio muestral “Ω” de “E” al conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento.

Por ejemplo,

* En el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral es: Ω₁={c; s}

* Si lanzamos un dado, el espacio muestral es: Ω₂ = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

III. Evento o suceso:

Se llama evento o suceso de un experimento aleatorio “E” a cualquier subconjunto “A” del espacio muestral “Ω” de este experimento.

Hay sucesos que siempre van unidos a todo experimento aleatorio:

 * Suceso seguro: está formado por todos los resultados posibles del experimento. Es el suceso que ocurre siempre y coincide con el espacio muestral.

 * Suceso imposible: es el suceso que no se produce nunca; es decir, no aparece al realizar un experimento aleatorio.

Ejemplo 1:

Se tiene el experimento: “Lanzamos al aire una moneda tres veces”

Determina el espacio muestral y los elementos que conforman los sucesos “A” Obtener dos caras y un sello, y “B”: obtener por lo menos un sello.

Resolución:

Determinamos el espacio muestral: 

Ω = {ccc; ccs; csc; css; scc; scs; ssc; sss}

Determinamos el suceso A (obtener dos caras y un sello):       

A = {ccs; csc; scc}

Determinamos el suceso B (obtener por lo menos un sello):      

B = {ccs; csc; css; scc; ssc; sss}

IV. "Ley de Laplace"

Si los sucesos elementales del espacio muestral son equiprobables, la probabilidad de un suceso A, denotado P(A), es el cociente entre el número de casos favorables de que ocurra el suceso A y el número de casos posibles:

 

  

Ejemplo:

Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado, (1) Salga un número par.

(1) Salga un número par.

(2) Salga un número múltiplo de 3

(3) Salga un número mayor que 6.

Solución:

(1) Salga un número par:

Ω= {1;2;3;4;5;6}  

A = {2;4;6}

  Þ P(A) = 3/6 = 0.5 = 50 %

(2) Salga un número múltiplo de 3:

Ω= {1;2;3;4;5;6}  

       * múltiplo de 3: A = {3;6}

  Þ P(A) = 2/6 = 1/3 = 0.33 = 33 %

(3) Salga un número mayor que 6:

Ω= {1;2;3;4;5;6}  

Ø = {  }  (no hay números mayores que 6)

       * Entonces la probabilidad es cero:

  Þ P(Ø) = 0

BLOQUE I

COMPROBAR LOS RESULTADOS EN LOS SIGUIENTES PROBLEMAS:

01. Se extrae al azar una carta de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una carta roja o un As? 7/13

02. Se lanza un dado dos veces en forma sucesiva, ¿cuál es la probabilidad de que ambos resultados sean 3? 1/36

03. En una caja hay 20 tarjetas Numeradas del 1 al 20. Se extrae una carta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que 12 o múltiplo de 5? 1/2

04. Se lanza una moneda tres veces. Calcula la probabilidad de obtener:

       a. Cara en la primera, sello en la segunda y cara en la tercera. 1/8

       b. Dos caras 3/8

       c. Ninguna cara 1/8

       d. Al menos un sello 7/8

       e. Dos caras o dos sellos 3/4

05. En una bolsa se echan 12 bolitas numeradas correlativamente del 1 al 12. Calcular la probabilidad de obtener un número menor que 5 o múltiplo de 5 al sacar una de ellas.

       A. 1/2                 B. 1/3                         C. 1/6

       D. 1/18    E. 0

06. Al lanzar dos monedas, ¿qué probabilidad hay de obtener una cara y un sello?

       A. 4                     B. 2                 C. 1

       D. 1/2                 E. 1/4

07. Si se lanza un dado, calcular la probabilidad de que se obtenga un número impar o múltiplo de 3.

       A. 1/2                 B. 2/3                        C. 1/3

       D. 1/6                 E. 5/6

08. ¿Cuál es la probabilidad de obtener siete puntos en el lanzamiento de dos dados?

       A. 1/6                 B.1/2              C. 7/12

       D. 7/36               E. 7/2

09. Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un puntaje menor que 5 ó mayor que 10?

       A. 1/72               B. 1/12           C. 1/4

       D. 1/6                 E. Ninguna

10. Una caja contiene 12 bolas negras y 8 rojas, ¿qué probabilidad hay de no sacar una bola negra?

       A. 2/5                 B. 3/5                        C. 2/3

       D. 3/2                 E. 8

11. Se lanza un dado y sale 4. ¿Qué probabilidad hay de que al lanzarlo nuevamente sume con el primer resultado un número menor que 9?

       A. 1/9                 B. 5/6                        C. 7/36

       D. 4/9                 E. 2/3

12. Calcula la probabilidad de que al sacar dos fichas de una bolsa, que contiene 3 fichas rojas y 4 blancas, con reposición, ambas sean fichas rojas.

       A. 3/4                 B. 2/7                        C. 6/49

       D. 1/7                 E. 9/49